(本题满分14分) 已知正项数列满足，，令．(Ⅰ) 求证：数列为等比数列；(Ⅱ) 记为数列...

(本题满分14分) 已知正项数列满足，，

令．

(Ⅰ) 求证：数列为等比数列；

(Ⅱ) 记为数列的前项和，是否存在实数，使得不等式对恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

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（本小题满分12分）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设（），数列的前项和为，求证：；

（3）是否存在常数(),使得数列为等差数列?若存在,试求出；若不存在,说明理由.

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（本小题满分13分）已知数列的前项和为，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；   （2）求数列的前项和；

（3）是否存在非零实数，使得数列为等差数列，证明你的结论.

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（本小题满分13分）

若数列满足，为数列的前项和.

(Ⅰ) 当时，求的值；

（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由.

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（本题满分15分）已知为实数，且，数列的前项和满足

（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并求出公比；

（Ⅱ）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于 都有.

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已知数列中， ，点在直线y=x上.

（1）计算的值；

（2）令，求证：数列是等比数列；

（3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列

为等差数列若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

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（本题满分13分）已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

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（本题满分14分）  设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

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已知数列的前项和满足.

(1)证明数列为等差数列，并求出数列的通项公式.

(2)若不等式，对任意恒成立，求的取值范围.

(3)记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出所有符合条件的有序实数对(，)；若不存在，请说明理由.

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（本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.

已知数列满足且点在二次函数的图像上.

（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．

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