设，则为的调和平均数．如图，为线段上的点，，,为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆...

设，则为的调和平均数．如图，为线段上的点，，,为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连结．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度为的算术平均数，线段　　　　 的长度是的几何平均数，线段　　 　　 的长度是的调和平均数．

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设， ，称为， 的平方平均数， 为， 的调和平均数．如图， 为线段上的点，且， ， 为中点，以为直径作圆．过点， 分别作的垂线，交圆于， 两点．连结， ．过点作的垂线，垂足为．已知图中线段的长度是， 的算术平均数，线段的长度是， 的几何平均数．则图中所示线段中，线段__________的长度是， 的平方平均数，线段__________的长度是， 的调和平均数．

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如图，点在线段上，分别以、、为直径作半圆、半圆、半圆，形成的阴影图形称作“皮匠刀形”，过点作的垂线与半圆交于点，半圆、半圆的外公切线为.证明：.

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如图4，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离.

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已知圆，

（Ⅰ）若过定点()的直线与圆相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若过定点()且倾斜角为的直线与圆相交于两点，求线段的中点的坐标；

(Ⅲ) 问是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为,且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由。

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如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边.则四边形的面积最大值为_____．

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如图，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，点P为线段CA（不包括端点）上的一个动点，以为圆心，1为半径作．

（1）连结，若，试判断与直线AB的位置关系，并说明理由；

（2）当线段PC等于多少时，与直线AB相切？

(3)当与直线AB相交时，写出线段PC的取值范围。

（第（3）问直接给出结果，不需要解题过程）

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（本题共9分）如图，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，点P为线段CA（不包括端点）上的一个动点，以为圆心，1为半径作．

（1）连结，若，试判断与直线AB的位置关系，并说明理由；

（2）当线段PC等于多少时，与直线AB相切？

(3)当与直线AB相交时，写出线段PC的取值范围。

（第（3）问直接给出结果，不需要解题过程）

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如图，半圆的直径为， 为直径延长线上的一点， ， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，设 .

（1）当为何值时,四边形面积最大,最大值为多少；

（2）当为何值时， 长最大，最大值为多少．

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若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，则质点落在以为直径的半圆内的概率是 （　　 ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

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