（本小题满分14分）已知函数对任意，都有.（1）求和的值；（2）若数列满足：则数列是等差数...

（本小题满分14分）已知函数对任意，都有.

（1）求和的值；

（2）若数列满足：则数列是等差数列吗？请给予证明。

（3）令，试比较与的大小。

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(12分) 函数对任意都有．

(1)           求和的值；

(2)           数列满足：，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；

(3)           在第(2)问的条件下，若数列满足，，试求数列的通项公式．

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已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

结合放缩法得到。

【解析】
（1）∵     ∴

∴

∴   ∴  ………2分

又∵正项数列，∴           ∴

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分

（2）       …………………6分

∴

                  …………………9分

（3）

  …………………12分

又

    ，

∴不等式  对任意的，都成立．

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已知函数,为正整数.

(Ⅰ)求和的值;

(Ⅱ)数列的通项公式为(),求数列的前项和;

(Ⅲ)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足：对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求m的最大值.

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设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立.已知，且时，.

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性；

（3）一个各项均为正数的数列，满足，其中是数列的前项和，求和.

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（本小题满分16分）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有．

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，证明：当时，．

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（本小题满分12分）已知数列满足，（）．

（Ⅰ） 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前n项和为，若对于任意，都满足成立，求实数m的取值范围．

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（本题满分14分）

已知数列满足

（Ⅰ）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项以及前n项和；

（Ⅲ）如果对任意的正整数都有求的取值范围。

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（本小题满分12分）定义在上的函数满足下面三个条件：

①对任意正数，都有；

②当时，；

③．

（1）求和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

（3）求满足的的取值集合.

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（本小题满分12分）我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围

（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由

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