已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的极值；
（Ⅱ）若函数
的两个零点为
，记
，证明：
．
【答案】（Ⅰ）极大值为
，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在
上的单调性，然后可得当
时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设
，由题意可得
，即
，又由条件得
，构造
，令
，则
，利用导数可得
，故得
，又
，所以
．
详【解析】
（Ⅰ）
，
，
由
得，
且当
时，
，即在
上单调递增，
当
时，
，即在
上单调递减，
∴当时，有极大值，且
，无极小值．
（Ⅱ）
函数的两个零点为，不妨设，
，
．
，
即，
又
，，
，
．
令，则
高三数学解答题中等难度题
已知函数
在
（
为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数
的取值范围；
（2）记函数
的两个零点为
，
，证明：
．
高三数学解答题极难题查看答案及解析
已知函数
在
（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数
的取值范围；
（2）记函数
的两个零点为
，证明：
．
高三数学解答题极难题查看答案及解析
已知函数
有极值，且导函数
的极值点是
的零点．
（1）求
关于
的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：
；
（3）若
，这两个函数的所有极值之和不小于
，求的取值范围．
高三数学解答题困难题查看答案及解析
设
,函数
.
（1）讨论函数
的单调区间和极值;
（2）已知
和
是函数的两个不同的零点,
求
的值并证明:
.
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数
．
（1）当
， 
时，讨论函数
在区间
上零点的个数；
（2）当
时，如果函数恰有两个不同的极值点
， 
，证明： 
．
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数
．
（1）当，时，讨论函数
在区间
上零点的个数；
（2）当时，如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：
．
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数
，
．
（1）当
时，求
的极值；
（2）令
，求函数
的单调减区间；
（3）如果是函数的两个零点，且
，
是的导函数，证明：
．
高三数学解答题简单题查看答案及解析
已知函数
.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若
有两个零点，求实数
的范围；
（3）已知函数
与函数的图象关于原点对称，如果
，且
，证明： 
.
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数
，
，
为自然对数的底数.
（1）当
时，证明：函数
只有一个零点；
（2）若函数存在两个不同的极值点
，
，求实数
的取值范围.
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数
（其中
， 为自然对数的底数， 
…）．
（1）若函数仅有一个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当
时，函数有两个零点， ，且
．
高三数学解答题困难题查看答案及解析