如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，...

如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.

（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；

（2）设为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；

（3）类似地：非零数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由.

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若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．

（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；

（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．

①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

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若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．

（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；

（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．

①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

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若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．

（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；

（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；

（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

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对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．

已知，且，若数列和满足：，且，．

若，求的取值范围；

求证：数列是“拟等比数列”；

已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．

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已知数列满足：，.

（1）若，写出一组的值，使数列是常数列；

（2）若，记，求证：.并求的值；

（3）若，，求证：对于任意的，.

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若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有（为常数），则称数列为“类等比数列”；已知数列满足：，对于任意的，都有；

（1）求证：数列是“类等比数列”；

（2）若是单调递减数列，求实数的取值范围；

（3）若，求数列的前项之积取最大值时的值；

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（本小题满分12分）设数列的前项和为，且对于

任意的正整数都成立，其中为常数，且

（1）求证：数列是等比数列（4分）

（2）设数列的公比，数列满足：，）（，

，求证：数列是等差数列，并求数列的前项和

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