等比数列的前项和为，已如,,.(1)求和；(2）证明：对任意，.

数列的前项的和为，对于任意的自然数，．

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求通项公式；

（Ⅱ）设，求和．

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已知数列满足，其中为的前项和，

（1）用；

（2）证明数列是等比数列；

（3）求和。

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已知数列满足,令,为数列的前项和.

(1)求和;

(2)对任意的正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.

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设数列满足，且，数列满足，已知，其中；

（Ⅰ）当时，求和；

（Ⅱ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.

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已知数列满足：，令．

（I）求和；

（II）为数列的前项和，对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

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（本小题满分14分）已知{}（是正整数）是首项是，公比是的等比数列.

（1）求和：；

（2）由（1）的结果归纳概括

并加以证明；

（3）设是等比数列的前项的和，求

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已知数列是首项为，公比为的等比数列.

（1）求和：① ；

② ；

③ ；

（2）根据（1）求得的结果，试归纳出关于正整数的一个结论（不需证明）；

（3）设是等比数列的前项和，求：

.

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（14分）等差数列中，前三项分别为，前项和为， （1）、求和；    （2）、设T=，证明T<1

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已知函数,为正整数.

(Ⅰ)求和的值;

(Ⅱ)数列的通项公式为(),求数列的前项和;

(Ⅲ) (4分)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足：对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求m的最大值.

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设正数数列为等比数列，，记.

（1）求和；

（2）证明: 对任意的，有成立.

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