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某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米．现以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
（I）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程；
（Ⅱ）为增强水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置．请确定点肘的位置，使此三角形区域面积最大．

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某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米．现以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
（I）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程；
（Ⅱ）为增强水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置．请确定点肘的位置，使此三角形区域面积最大．

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已知椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆的长轴长；
（Ⅱ）过椭圆中心O的直线与椭圆交于A、B两点（A、B不是椭圆的顶点），点M在长轴所在直线上，且,直线BM与椭圆交于点D，求证：ADAB。

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已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若的顶点、在椭圆上，所在的直线斜率为，所在的直线斜率为，若，求的最大值．

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已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为.
（1）已知点是椭圆上两点，点为椭圆的上顶点，的重心恰好是椭圆的右焦点，求所
在直线的斜率；
（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点，
且，求四边形的面积最小时直线的方程.

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已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一个菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线过点时，求直线的方程；
（3）当时，求菱形面积的最大值．

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设椭圆的离心率是，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为.
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），，垂足为H，且，求证：直线恒过定点.

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某公司准备在门前建造一个长轴为20米，短轴长为16米的椭圆形喷水池．在长轴上的M₁、M₂处设计两个喷水头，使喷出的水花形成有相等半径的⊙M₁与⊙M₂，且⊙M₁与⊙M₂外切，两圆均与椭圆内切．试确定点M₁与M₂的位置及其半径．

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已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为-1．
（1）求椭圆∑的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC=时，求菱形ABCD面积的最大值．
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下列两题选做一题．
（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y²=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．
（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．

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已知椭圆：的长轴长为，，是其长轴顶点，是椭圆上异于，的动点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若动点在直线上，直线，分别交椭圆于，两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

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