设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向...

设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.

（1）设，，若，求向量；

（2）对于中的任意两个向量，，证明：；

（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.

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下列给出的命题中：

①如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组使.

②已知.则与向量和都垂直的单位向量只有.

③已知向量可以构成空间向量的一个基底，则向量可以与向量和向量构成不共面的三个向量.

④已知正四面体,分别是棱的中点，则与所成的角为.

是真命题的序号为　

A．①②④　　　　　 B．②③④　　　　 C．①②③　　　　　 D．①④　　

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下列四个说法：

①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底．　　　　　　

②空间的任意两个向量都是共面向量．

③若两条不同直线的方向向量分别是，则∥∥．

④若两个不同平面的法向量分别是且，则∥．

其中正确的说法的个数是（　　 ）　

A．1　　　　　　 B．2　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　 D．4

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已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 _________

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如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作．

1、求证：向量为平面的法向量；

2、求证：以为边的平行四边形的面积等于；

将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小．

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已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则（　　 ）

A. 与是共线向量　　 B. 的单位向量是

C. 与夹角的余弦值是　　 D. 平面ABC的一个法向量是

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如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.

(1)若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量,，.的坐标；

(2)在(1)的条件下，分别求出；的值.

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(13分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成,在上定义一个运算,记为,对于中的任意两个元素,,规定:.

(1)计算:;

(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;

(3)若“中的元素”是“对,都有成立”的充要条件,试求出元素.

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如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点，为的中点，于，如图建立空间直角坐标系.

（1）求出平面的一个法向量并证明平面；

（2）求二面角的余弦值.

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