在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间等分成n个...

在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用表示第k个矩形的面积，表示这n个叫矩形的面积总和.

（1）求的表达式；

（2）利用数学归纳法证明，并求出的表达式

（3）求的值，并说明的几何意义.

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如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.

（1）求函数的解析式；

（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.

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在平面直角坐标系中,已知函数的图像与直线相切,其中是自然对数的底数.

(1)求实数的值；

(2)设函数在区间内有两个极值点.

①求实数的取值范围；

②设函数的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围 .

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如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．

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对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；

（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.

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如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求的值；

（3）求证：四边形的面积为定值.

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如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求的值；

（3）求证：四边形的面积为定值.

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幂函数及直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（      ）

A.⑧，③            B.⑦，③

C.⑥，①            D.⑤，①

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