等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1...

等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）已知数列是等比数列，因此把已知条件用首项和公比表示并解出，然后可写出通项公式；（2）计算出是等差数列的前项和， ，因此变成两项的和，即数列可用裂项相消法求和得出结论．

（1）设数列{an}的公比为，由得所以

有条件可知，故．

由得，所以

故数列{an}的通项式为

（2）==.

故

所以数列的前n项和为

考点：等比数列的通项公式，等差数列的前项和，裂项相消法求和．

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求在区间上的最小值.

高二数学解答题困难题查看答案及解析

设是公比为正数的等比数列,,

(1)求的通项公式;

(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前项和

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根据等比数列的通项公式得到：，解得二次方程可得到或(舍去)，进而得到数列的通项；（2）已知数列的类型是等差数列与等比数列求和的问题，根据等差等比数列求和公式得到结果即可.

解:(1)设为等比数列的公比,则由,得:

即,解得:或(舍去)　　

所以的通项公式为　　　

(2) 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 得 到：

由 等 差 数 列 求 和 公 式 和 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 得 到

【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

【题型】解答题
【结束】
18

设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．

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已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）21或.

【解析】试题分析：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出。

设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.

（1）∵，结合得，

∴.

（2）∵，解得或3，

当时，，此时；

当时，，此时.

【题型】解答题
【结束】
20

如图，已知直线与抛物线相交于两点，且， 交于，且点的坐标为.

（1）求的值；

（2）若为抛物线的焦点， 为抛物线上任一点，求的最小值.

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已知数列 的前 项和为 ，并且满足 ， .

（1）求数列 通项公式；

（2）设 为数列 的前 项和，求证： .

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据题意得到， ，两式做差得到；（2）根据第一问得到，由错位相减法得到前n项和，进而可证和小于1.

解析：

（1）∵

当 时，

当时， ，即

∴数列 时以 为首项， 为公差的等差数列.

∴ .

（2）∵

∴ ①

②

由① ②得

∴

点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

【题型】解答题
【结束】
22

已知 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点， 是椭圆 上的一点，且 ，椭圆 的离心率为 .

（1）求椭圆 的标准方程；

（2）若直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ， ，椭圆 上存在点 ，使得以 ， 为邻边的四边形 为平行四边形（ 为坐标原点）.

（ⅰ）求实数 与 的关系；

（ⅱ）证明：四边形 的面积为定值.

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等差数列的前项和，若，则( )

A. 8　　 B. 10　　 C. 12　　 D. 14

【答案】C

【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.

考点：等差数列的性质.

【题型】单选题
【结束】
5

若直线＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)

A. 4　　 B. 3　　 C. 2　　 D. 5

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（2017北京）已知等差数列和等比数列满足， ， ．

（1）求的通项公式；

（2）求和： ．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据等差数列的， ，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用已知条件根据题意列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，求出数列的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可.

（1）设等差数列{an}的公差为d.　　 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.

所以an=2n−1.

（2）设等比数列的公比为q.　　 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.

解得q2=3.所以.

从而.

【题型】解答题
【结束】
18

已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

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在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）

A. 58　　 B. 88　　 C. 143　　 D. 176

【答案】B

【解析】试题分析：等差数列前n项和公式， ．

考点：数列前n项和公式．

【题型】单选题
【结束】
7

已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)

A. 7　　 B. 5

C. －5　　 D. －7

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在各项均为正数的数列中， 且.

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）求证：当时，.

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据及，可求得的值，同理即可求得的值；（Ⅱ）利用分析法，要证，只需证 ，即证，然后结合均值不等式即可证明.

（Ⅰ）因为，

所以，

所以，

解得，

同理解得.

（Ⅱ）证明：要证 时，，

只需证 ，

只需证 ，只需证 .

只需证 ，

只需证 ，

根据均值定理，

所以原命题成立.

【题型】解答题
【结束】
17

已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

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在各项均为正数的数列中， 且.

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）求证：当时，.

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据及，可求得的值，同理即可求得的值；（Ⅱ）利用分析法，要证，只需证 ，即证，然后结合均值不等式即可证明.

（Ⅰ）因为，

所以，

所以，

解得，

同理解得.

（Ⅱ）证明：要证 时，，

只需证 ，

只需证 ，只需证 .

只需证 ，

只需证 ，

根据均值定理，

所以原命题成立.

【题型】解答题
【结束】
17

已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

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已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的满足关系式．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正数，总有．

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