高三数学解答题中等难度题
已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中。如图,设点,,是相应椭圆的焦点,,和,是“果圆” 与,轴的交点,
(1)若三角形是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)若,求的取值范围;
(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数,使得斜率为的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由。
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我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”,其中。如图1,点是相应椭圆的焦点,和分别是“果圆”与轴的交点,且是边长为2的等边三角形。
(1)求“果圆”的方程。
(2)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦,试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由。
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.本小题满分15分)
如图,已知椭圆E:,焦点为、,双曲线G:的顶点是该椭圆的焦点,设是双曲线G上异于顶点的任一点,直线、与椭圆的交点分别为A、B和C、D,已知三角形的周长等于,椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.
(1)求椭圆E与双曲线G的方程;
(2)设直线、的斜率分别为和,探求
和的关系;
(3)是否存在常数,使得恒成立?
若存在,试求出的值;若不存在, 请说明理由.
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