已知点
是平行四边形
所在平面外一点，如果
，
，
.（1）求证：
是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得
，
.则
，
，结合线面垂直的判断定理可得
平面，即是平面的法向量.
(2)利用平面向量的坐标计算可得
，
，
，则
，
，
.
（1）∵
，
.
∴，，又
，∴平面，
∴是平面的法向量.
（2）∵
，
，
∴
，
∴
，
故，
.
【题型】解答题
【结束】
19
（1）求圆心在直线
上，且与直线
相切于点
的圆的方程；
（2）求与圆
外切于点
且半径为
的圆的方程.
高三数学解答题中等难度题
已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量.
(2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，.
（1）∵，
.
∴，，又，∴平面，
∴是平面的法向量.
（2）∵ ，，
∴，
∴，
故， .
【题型】解答题
【结束】
19
（1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程；
（2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程.
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图所示，
平面
，点
在以
为直径的
上，
，
，点
为线段
的中点，点
在弧上，且
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）设二面角
的大小为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
.
【解析】试题分析：
（1）由△ABC中位线的性质可得
，则
平面.由线面平行的判断定理可得
平面.结合面面平行的判断定理可得平面.
（2）由圆的性质可得
，由线面垂直的性质可得
，据此可知
平面.利用面面垂直的判断定理可得平面平面.
（3）以为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系
.结合空间几何关系计算可得平面的法向量
，平面
的一个法向量
，则
.由图可知为锐角，故
.
（1）证明：因为点为线段的中点，点
为线段的中点，
所以，因为
平面，
平面，所以平面.
因为，且
平面，
平面，所以平面.
因为
平面
，
平面，
，
所以平面平面.
（2）证明：因为点在以为直径的上，所以
，即.
因为平面，
平面，所以.
因为平面，平面，
，所以平面.
因为平面
，所以平面
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
（本小题满分12分）在四棱柱
中，
，底面
为菱形，
，已知
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求点
到平面
的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
．
【解析】
（1）要证平面平面，即证
平面，而
可由菱形的性质得到，又由
底面
，得到
底面
，进而得到
，从而使问题得证；（2）取
的中点
，连接
，
，过作的垂线
，可知为点到平面的距离，从而通过解直角三角形求得的长．
（1）依题意， 因为四棱柱中，底面，
所以底面．
又
底面，所以．
因为为菱形，所以，而
，所以平面．
又底面，所以平面平面．
（2）取的中点，连接，，则
，
，故
，
过作的垂线，易证
，即为点到平面的距离．
在直角三角形
中，
，
，
，
所以
，即点到平面的距离为．
考点：1、空间直线与平面的垂直的判定与性质；2、空间平面与平面垂直的判定；3、点到平面的距离．
【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2016届江西省临川一中高三上学期期中文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】
（本小题满分12分）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）设函数
，求函数
的单调区间．
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图，四棱柱
的底面为菱形， 
， 
， 
为
中点.
（1）求证： 
平面
；
（2）若
底面，且直线
与平面所成线面角的正弦值为
，求
的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】试题分析：（1）设
为
的中点，根据平几知识可得四边形
是平行四边形，即得
，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得的长.
（1）证明：设为的中点，连
因为
，又
，所以 ，
所以四边形是平行四边形，
所以
又
平面， 
平面，
所以平面.
（2）因为是菱形，且
，
所以
是等边三角形
取
中点，则
，
因为平面，
所以
， 
建立如图的空间直角坐标系，令
，
则
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
设平面的一个法向量为
，
则
且
，
取
，设直线与平面所成角为
，
则
，
解得
，故线段的长为2.
【题型】解答题
【结束】
20
椭圆
:
的左、右焦点分别为
、
，若椭圆过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若
为椭圆的左、右顶点， 
（
）为椭圆上一动点，设直线
分别交直线
： 
于点
，判断线段
为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
高三数学解答题困难题查看答案及解析
如图，四棱锥
中， 
为等边三角形，且平面
平面， 
， 
， 
.
（Ⅰ）证明： 
；
（Ⅱ）若棱锥的体积为
，求该四棱锥的侧面积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 
.
【解析】【试题分析】(I) 取
的中点为，连接
，
.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得
,由此证得
平面
,故
,故
.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得
,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得
的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，
∵为等边三角形，∴
.
底面中，可得四边形
为矩形，∴
，
∵
，∴平面，
∵
平面，∴.
又
，所以.
（Ⅱ）由面面，，
∴
平面，所以为棱锥
的高，
由
，知
，
，
∴.
由（Ⅰ）知
，
，∴
.
.
由，可知
平面
，∴
，
因此
.
在
中
，
，
取的中点，连结
，则
，
，
∴
.
所以棱锥的侧面积为
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数
， 
（Ⅰ）当时，求函数
的单调递减区间；
（Ⅱ）若
时，关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若数列
满足
， 
，记的前
项和为
，求证： 
.
【答案】（I）
；（II）
；（III）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出
，在定义域内，分别令
求得的范围，可得函数
增区间， 
求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当
时，因为，所以
显然不成立，先证明因此
时， 在
上恒成立，再证明当
时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为
，结合（II）可得
，各式相加即可得结论.
（Ⅰ）由，得
.所以
令
，解得
或
（舍去），所以函数的单调递减区间为 .
（Ⅱ）由得，
当时，因为，所以显然不成立，因此
.
令
，则
，令
，得
.
当时， 
， 
，∴
，所以
，即有.
因此时， 在上恒成立.
②当时， 
， 
在
上为减函数，在
上为增函数，
∴
，不满足题意.
综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.
（III）证明：由
知数列是
的等差数列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 
在上恒成立.
所以
高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
满足条件：
=
，
．
满足条件：=，
，试判断四边形ABCD的形状，并给予证明． 高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
． 高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知点
是平行四边形
所在平面外一点，如果
，
，
．对于结论：
①
；②
；
③
是平面的法向量；
④
．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高三数学选择题中等难度题查看答案及解析
如图，在四棱锥
中，底面为菱形， 
平面， ， 
， ， 
分别是， 
的中点.
（1）证明： 
；
（2）设
为线段
上的动点，若线段
长的最小值为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）证明线线垂直则需证明线面垂直，根据题意易得
，然后根据等边三角形的性质可得
，又
，因此
得
平面
，从而得证（2）先找到EH什么时候最短，显然当线段长的最小时， 
，在
中， 
， 
， 
，∴
，由
中， 
， 
，∴
.然后建立空间直角坐标系，写出两个面法向量再根据向量的夹角公式即可得余弦值
解析：（1）证明：∵四边形为菱形， ，
∴为正三角形.又为的中点，∴.
又，因此.
∵平面， 
平面，∴.
而
平面， 
平面且
，
∴平面.又
平面，∴.
（2）如图， 为上任意一点，连接
， .
当线段长的最小时， ，由（1）知，
∴
平面
， 
平面，故
.
在中， ， ， ，
∴，
由中， ， ，∴.
由（1）知
， 
， 
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 分别是， 的中点，
可得， 
， 
， 
，
， 
， 
高三数学解答题困难题查看答案及解析