已知向量满足， ，函数．（Ⅰ）求在时的值域；（Ⅱ）已知数列 ，求的前项和．

已知向量满足， ，函数．

（Ⅰ）求在时的值域；

（Ⅱ）已知数列 ，求的前项和．

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已知数列的前项和为，向量，满足条件且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设函数，数列满足条件，

①求数列的通项公式；

②设，求数列的前和．

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我们把一系列向量排成一列，称为向量列，记作，又设，假设向量列满足：，。

（1）证明数列是等比数列；

（2）设表示向量间的夹角，若，记的前项和为，求；

（3）设是上不恒为零的函数，且对任意的，都有，若，，求数列的前项和.

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已知数列，，为数列的前项和，向量，，

．

（1）若，求数列通项公式；

（2）若，．

①证明：数列为等差数列；

②设数列满足，问是否存在正整数，，且，，使得、、成等比数列，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．

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对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

求证：(1)是数列的母函数；

(2)求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

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对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.

（1）求证： 是数列的母函数；

（2）求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证： .

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已知为坐标原点，向量，,点满足.

（1）记函数，讨论函数的单调性，并求其值域；

（2）若三点共线，求的值.

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已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．

（I）求数列的首项和通项公式；

（II）若数列满足，求数列的前项和；

（III）已知数列满足．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．

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已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足

分别求数列、的通项公式；

若数列满足， 数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围.

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已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）．

（I）求的通项公式；

（II）数列 满足，求数列的前项和；

（III）记数列的前项和为，设，证明：.

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