设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。
(1)求数列与数列的通项公式;
(2)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
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对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.已知函数.
(1)当时,求的不动点;
(2)若对于任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围.
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(14分)已知函数.
(Ⅰ)求的单调递减区间;
(Ⅱ)若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.
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(本小题满分14分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76,乙代表队数据的平均数是75.
(1)求,的值;
(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;
(3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定).
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在平面直角坐标系上,设不等式组所表示的平面区域为,记内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为
(1)求;并求数列的通项公式;
(2)数列的和前项为,求数列的前n项和;
(3)设,数列的和前项为,求证:
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如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,
且,分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
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定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的一个上界.已知函数,.
(1)若函数为奇函数,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在上是以5为上界的有界函数,求实数的取值范围.
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在等比数列{an}中,a1=2,a3,a2+a4,a5成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1++…+=an(n∈N*),{bn}的前n项和为Sn,求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整数n的最大值.
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如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设(rad),将表示成的函数;
(ii)设(km),将表示成的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
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已知向量满足,且.(1)求向量的坐标; (2)求向量与的夹角.
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