正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.（Ⅰ）当点M与点C重合时，...

正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.

（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为_______；

（Ⅱ）线段AP长度的最小值为_______.

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若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（　　 ）

A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②

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（本小题满分10分）如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．

（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;

（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．

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（本小题满分10分）如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．

（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;

（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．

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（本题满分12分）

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=，AC=CB=1，D₁是线段A₁B₁上一动点（可以与A₁或B₁重合）。过D₁和CC₁的平面与AB交于D。

(1）若四边形CDD₁C₁总是矩形，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱；

(2)在（1）的条件下，求二面角B-AD₁-C的取值范围。

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如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　)

A. [，1]　　 B. [，1]　　 C. [， ]　　 D. [，1]

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如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， AC⊥BC．

(1) 求证：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；

(2) 若AB₁⊥A₁C，求线段AC与AA₁长度之比；

(3) 若D是棱CC₁的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

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（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．

(1) 求证：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；

(2) 若AB₁⊥A₁C，求线段AC与AA₁长度之比；

(3) 若D是棱CC₁的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

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