若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数M，对任意，，则称数列为“T数列”.（1）若数列的通...

若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.

（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；

（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；

（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.

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若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数M，对任意，，则称数列为“T数列”.

（1）若数列的通项为，证明：数列为“T数列”；

（2）若数列的各项均为正整数，且数列为“T数列”，证明：对任意，；

（3）若数列的各项均为正整数，且数列为“T数列”，证明：存在，数列为等差数列.

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已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.

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（本小题满分15分）如果数列同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数，

对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列”.

（Ⅰ）若数列满足证明数列为“类等比数列”，并求出相应的的值；

（Ⅱ）若数列为“类等比数列”，且满足问是否存在常数，使得对

任意都成立？若存在，求出，若不存在，请举出反例.

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（本小题12分）已知数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。

（Ⅰ）求的值并证明数列为等差数列；

（Ⅱ）令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由。

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（本小题满分14分）

已知数列的前n项和为满足,

猜想数列的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ) 对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有

            ，，   则称数列为B-数列。问数列是B-数列吗？    并证明你的结论。

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若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；

②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.

（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；

①；　　　　 ②；　　　 ③

（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；

（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

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若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；

②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.

（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；

①；　　　　 ②；　　　 ③

（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；

（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

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（本小题满分12分）

设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.

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