若无穷数列满足:只要(p,),必有,则称具有性质P.
(1)若具有性质P,且,,,,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,,判断是否具有性质P,并说明理由.
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对于各项均为整数的数列,如果为完全平方数,则称数列具有“性质”,不论数列是否具有“性质”,如果存在与不是同一数列的,且同时满足下面两个条件:
(1)是的一个排列;(2)数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”。给出下面三个数列:
①数列的前项和;
②数列1,2,3,4,5;
③数列1,2,3,… 11.
其中具有“性质”或具有“变换性质”的为 .(写出所有正确的序号).
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对于任意的,若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质”.①;②存在实数使得.
(1)数列中,,判断是否具有“性质”.
(2)若各项为正数的等比数列的前项和为,且,证明:数列具有“性质”,并指出的取值范围.
(3)若数列的通项公式,对于任意的,数列具有“性质”,且对满足条件的的最小值,求整数的值.
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若无穷数列满足:只要(p,),必有,则称具有性质P.
(1)若具有性质P,且,,,,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,,判断是否具有性质P,并说明理由.
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设同时满足条件:① ;② (,是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足: (为常数,且,).
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值,并证明此时为“嘉文”数列.
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已知无穷等比数列中,首项,公比,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和的最大值.
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定义:对于任意,满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.
(1)若,证明:数列是数列;
(2)设数列的通项为,且数列是数列,求常数的取值范围;
(3)设数列,若数列是数列,求的取值范围.
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已知无穷数列和都是等差数列,其公差分别为和,若数列也是等差数列,则( )
A.
B.
C.可以是任何实数
D.不存在满足条件的实数和
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若存在常数、、,使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”,其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时,求;
②当时,设的前项和为,若不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(2)设为等比数列,且首项为,试写出所有满足条件的,并说明理由.
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已知:函数,数列对,总有;
(1)求的通项公式;
(2)设是数列的前项和,且,求的取值范围;
(3)若数列满足:①为的子数列(即中每一项都是的项,且按在中的顺序排列);②为无穷等比数列,它的各项和为,这样的数列是否存在?若存在,求出所有符合条件的数列.写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
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