正整数数列满足：，（1）写出数列的前5项；（2）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺...

正整数数列满足：，

（1）写出数列的前5项；

（2）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列，试用表示（不必证明）；

（3）求最小的正整数，使．

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把正整数排列成如图的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图的三角形数阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则

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已知，函数的零点从小到大依次为，.

（Ⅰ）若（），试写出所有的值；

（Ⅱ）若，，，求证： ；

（Ⅲ）若，，，试把数列的前项及按从小到大的顺序排列。（只要求写出结果）.

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把正整数排列成如图-1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图-2的三角形数阵. 现将图-2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则________．

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将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，从左向右记第行的第个数为，，我们称为三角数，现将所有的三角数按从小到大的顺序排成一三角数列，则满足等式的是三角数列中的第________个。

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设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为数列的“创新数列”.例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7. 考查正整数1，2，…，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.

（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的的创新数列；若不存在，请说明理由.

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.

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已知数列，现将其中所有的完全平方数（即

正整数的平方）抽出按从小到大的顺序排列成一个新的数列。

（1）若，则正整数m关于正整数k的函数表达式为m=________；

（2）记能取到的最大值等于________。

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对于项数为的有穷数列数集，记，即为、、、中的最大值，并称数列是的控制数列.如、、、、的控制数列是、、、、.

（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为、、、、，写出所有的；

（2）设是的控制数列，满足（为常数，、、、）.求证：.

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