设数列的前项和为，对于任意的，都有.（1）求数列的首项及数列的递推关系式；（2）若数列成等...

已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为.　

（Ⅰ）若数列的前项和，求， 的值；

（Ⅱ）若， ，且.

（i）求的值；

（ii）对于数列和，满足关系式， 为常数，且，求的最大值.

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（本小题满分12分）已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，且数列的前项之和为，求证：

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（理）对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列。设 ，数列前项的和分别记为，则三者的关系式_____________________

（文）已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=________

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设数列的前项和为，若存在非零常数，使对任意都有

成立，则称数列为“和比数列”．

（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，判断数列是否为“和比数列”；

（2）设数列是首项为，且各项互不相等的等差数列，若数列是“和比数列”，求数列的

通项公式．

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设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．

（Ⅰ）已知等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．

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对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.

（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；

（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？

（3）设数列的前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

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已知数列的首项，且对任意都有（其中为常数）.

（1）若数列为等差数列，且，求的通项公式.

（2）若数列是等比数列，且，从数列中任意取出相邻的三项，均能按某种顺序排成等差数列，求的前项和成立的的取值的集合.

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设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”.

（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；

（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明理由；

（3）若数列为“数列”， ，设，证明： .

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对于任意的（不超过数列的项数），若数列的前项和等于该数列的前项之积，则称该数列为型数列。

（1）若数列是首项的型数列，求的值；

（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数列都不是型数列；

（3）若数列是型数列，且试求与的递推关系，并证明对恒成立。

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设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．

（Ⅰ）求数列的首项和公比；

（Ⅱ）当m=1时,求；

（Ⅲ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

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