（本小题满分10分）如图，已知△是边长为4的正三角形，是的中点，，分别是边，上的点，且，设...

（本小题满分10分）如图，已知△是边长为4的正三角形，是的中点，，分别是边，上的点，且，设．

（Ⅰ）试将线段的长表示为的函数；

（Ⅱ）设△的面积为，求的解析式，并求的最小值；

（Ⅲ）若将折线绕直线旋转一周得到空间几何体，试问：该几何体的体积是否有最小值？若有，求出它的最小值；若没有，请说明理由．

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如图，已知正三角形的边长为1，设，.

（1）若是的中点，用分别表示向量，；

（2）求；

（3）求与的夹角.

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如图，已知正三角形的边长为1，设.

（1）若是的中点，用，表示向量；

（2）求与的夹角.

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（本小题满分14分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.

（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；

（2）若，求此时管道的长度；

（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时

管道的长度.

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如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.

(1) 求证:.　　

(2) 求三棱锥的体积.

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已知在三棱锥中，分别是的中点，都是正三角形，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值；

（3）若点在一个表面积为的球面上，求的边长.

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如图，直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点

（1）证明:平面平面

（2）若直线与平面 所成的角为45°，求点到面的距离

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如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.

（1）证明：平面⊥平面；

（2）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.

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(本小题满分12分)

在长方体中，分别是的中点，

，.

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在点，使直线与垂直，

如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.

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(本小题满分16分)如图①，，分别是直角三角形边和的中点，，沿将三角形折成如图②所示的锐二面角，若为线段中点．求证：

（1）直线平面；

（2）平面平面．

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