已知函数
．
（1）当
时，若函数
在
，
（
）处导数相等，证明：
；
（2）是否存在
，使直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．
高三数学解答题困难题
已知函数．
（1）当时，若函数在，（）处导数相等，证明：；
（2）是否存在，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．
高三数学解答题困难题
已知函数
，（其中常数
）
（1）当
时，求曲线在
处的切线方程；
（2）若存在实数
使得不等式
成立，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先求导函数
，由导数的几何意义知
，利用直线的点斜式方程求切线方程；（2）依题意，只需在
上
成立，故转化为求函数在区间的最小值问题．
的根，得
，并讨论根定义域的位置，当
，将定义域分段，并考虑导数的符号，判断函数大致图象，求函数的最小值；当
时，函数单调性，利用单调性求函数的最小值，并列不等式，求参数的取值范围．
（1）定义域
当时，
，
，
曲线在处的切线方程为：.
（2）
，令
，
在
递减，在
递增..
若存在实数使不等式成立，
只需在上成立，
①若，即
时，
，即
，.10分
②若，即
时，
，解得，故
综上所述：的取值范围．
考点：1、导数的几何意义；2、导数在单调性上的应用；3、利用导数求函数的极值、最值.
【题型】解答题
【适用】较难
【标题】2014届北京市顺义区高三第一次统练文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】
已知椭圆
的离心率
，长轴的左右端点分别为
，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线
与曲线有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
.
求证：以
为直径的圆过定点
.
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已知函数．
（1）当时，若函数在，（）处导数相等，证明：；
（2）是否存在，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．
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已知函数
，曲线
在
处的切线经过点
.
（1）证明： 
；
（2）若当
时， 
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为
，再根据切线过点，解得
导数可得导函数零点，列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性，根据函数单调性可得函数最小值为0，即得结论，（2）先化简不等式为
，分离得
，再利用导数求函数
单调性，利用罗伯特法则求最大值，即得的取值范围.
（1）曲线在处的切线为
，即
由题意得
，解得
所以
从而
因为当
时， 
，当
时， 
.
所以
在区间
上是减函数，区间
上是增函数，
从而
.
（2）由题意知，当时， 
，所以
从而当时， 
，
由题意知
，即，其中
设
，其中
设
，即
，其中
则
，其中
（1）当
时，因为时， 
，所以
是增函数
从而当时， 
，
所以
是增函数，从而
.
故当时符合题意.
（2）当
时，因为
时， 
，
所以在区间
上是减函数
从而当时， 
所以在上是减函数，从而
故当时不符合题意.
（3）当
时，因为时， 
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已知函数
，其中
为实数．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在实数，使得对任意
，
恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．
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（本题满分12分）
已知函数，其中为实数．
(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．
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已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）判断方程
根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）探究：是否存在这样的点
，使得曲线
在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．
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已知函数
（
是自然对数的底数）.
（1）若曲线在
处的切线也是抛物线
的切线，求的值；
（2）当
时，是否存在
，使曲线
在点
处的切线斜率与
在
上的最小值相等？若存在，求符合条件的
的个数；若不存在，请说明理由.
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已知
，函数
（
是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若
，证明：曲线没有经过点
的切线；
（Ⅱ）若函数在其定义域上不单调，求
的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正整数
，当
时，函数的图象在
轴的上方，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
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已知函数
的图像在点
处的切线斜率为10.
(1)求实数
的值;
(2)判断方程
根的个数,并证明你的结论;
(21)探究: 是否存在这样的点
,使得曲线
在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
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已知函数
， 
，其中a>1.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若曲线在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
（III）证明当
时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
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