(本小题满分13分)已知由非负整数组成的数列满足下列两个条件:
①,,
②
(1)求;
(2)证明 ;
(3)求的通项公式及其前项和.
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(本小题满分13分)已知由非负整数组成的数列满足下列两个条件:
①,,
②
(1)求;
(2)证明 ;
(3)求的通项公式及其前项和.
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(本题满分15分)已知数列满足下列条件:
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设的前项和为,求证:对任意正整数,均有
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(本题满分14分)
已知数列满足(),,记数列的前项和为,
.
(I)令,求证数列为等差数列,并求其通项公式;
(II)证明: (i)对任意正整数, ;
(ii)数列从第2项开始是递增数列.
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(本小题满分12分)
设数列的各项都为正数,其前项和为,已知对任意,是 和的等比中项.
(Ⅰ)证明数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明;
(Ⅲ)设集合,,且,若存在∈,使对满足 的一切正整数,不等式恒成立,求这样的正整数共有多少个?
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(本小题满分13分)已知数列, 满足条件:, .
(Ⅰ)求证数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和,并求使得对任意都成立的正整数的最小值.
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(本小题满分14分)已知数列的前项和为,且满足,().
(1)求,的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在整数对,使得等式成立?若存在,请求出所有满足条件的;若不存在,请说明理由.
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(本题满分12分)设数列的前项和为,满足,且。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)设数列的前项和为,且,证明:对一切正整数, 都有:
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(本小题满分12分)
设同时满足条件:①;②(,是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足:(为常数,且,).
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值,并证明此时为“嘉文”数列.
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已知数列的前项和满足.
(1)证明数列为等差数列,并求出数列的通项公式.
(2)若不等式,对任意恒成立,求的取值范围.
(3)记数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立,若存在,求出所有符合条件的有序实数对(,);若不存在,请说明理由.
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已知数列中,,,其前项和满足.令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求证:();
(Ⅲ)令(),求同时满足下列两个条件的所有的值:①对于任意正整数,都有;②对于任意的,均存在,使得时,.
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