已知函数， ，在处的切线方程为.（1）求， ；（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： ....

已知函数， ，在处的切线方程为.

（1）求， ；

（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： .

【答案】（1）， ；（2）见解析

【解析】试题分析： 在处的切线方程为，求导算出切线方程即可求出结果构造，求导，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，设的根为，证得，讨论证得的根为， ，从而得证结论

解析：（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（Ⅰ）可知， ，

设在(-1，0)处的切线方程为，

易得， ，令

即， ，

当时，

当时，

设， ，

故函数在上单调递增，又，

所以当时， ，当时， ，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故， ，

设的根为，则，

又函数单调递减，故，故，

设在(0,0)处的切线方程为，易得，

令高三数学解答题中等难度题查看答案及解析

已知函数， ，在处的切线方程为.

（1）求， ；

（2）若，证明： .

【答案】（1）， ；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于 的方程组，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用导数研究其单调性可得

，

从而证明.

（（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

当时， ， 单调递减，且；

当时， ， 单调递增；且，

所以在上当单调递减，在上单调递增，且，

故，

故.

【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.

【题型】解答题
【结束】
22

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（， 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取两点， 与原点构成，且满足，求面积的最大值.

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已知函数，曲线在处的切线经过点.

（1）证明： ；

（2）若当时， ，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为，再根据切线过点，解得导数可得导函数零点，列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性，根据函数单调性可得函数最小值为0，即得结论，（2）先化简不等式为，分离得，再利用导数求函数单调性，利用罗伯特法则求最大值，即得的取值范围.

（1）曲线在处的切线为，即

由题意得，解得

所以

从而

因为当时， ，当时， .

所以在区间上是减函数，区间上是增函数，

从而.

（2）由题意知，当时， ，所以

从而当时， ，

由题意知，即，其中

设，其中

设，即，其中

则，其中

（1）当时，因为时， ，所以是增函数

从而当时， ，

所以是增函数，从而.

故当时符合题意.

（2）当时，因为时， ，

所以在区间上是减函数

从而当时，

所以在上是减函数，从而

故当时不符合题意.

（3）当时，因为时， 高三数学解答题中等难度题查看答案及解析

已知函数．

（）当时，求此函数对应的曲线在处的切线方程．

（）求函数的单调区间．

（）对，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（）;（）见解析;（）当时， ，当时

【解析】试题分析：（1）利用导数的意义，求得切线方程为；（2）求导得，通过， ， 分类讨论，得到单调区间；（3）分离参数法，得到，通过求导，得， ．

（）当时， ，

∴， ，

，∴切线方程．

（）

．

令，则或，

当时， 在， 上为增函数．

在上为减函数，

当时， 在上为增函数，

当时， 在， 上为单调递增，

在上单调递减．

（）当时， ，

当时，由得

，对恒成立．

设，则

，

令得或，

，∴， ．

点睛：本题考查导数在函数综合题型中的应用。含参的函数单调性讨论，考查学生的分类讨论能力，本题中，结合导函数的形式，分类讨论；含参的恒成立问题，一般采取分离参数法，解决恒成立。

【题型】解答题
【结束】
20

已知集合，集合且满足：

， ， 与高三数学解答题中等难度题查看答案及解析

已知，，.

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．

【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以．

详【解析】
（Ⅰ），

，

由得，

且当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

∴当时，有极大值，且，无极小值．

（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，则

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已知函数，，在处的切线方程为

（1）若，证明：；

（2）若方程有两个实数根，，且，证明：

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已知函数.

（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；

（2）若方程有两个不相等的实数解、，证明： .

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已知函数.

（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；

（2）若方程有两个不相等的实数解，证明： .

高三数学解答题极难题查看答案及解析

已知函数， .

(1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程.

(2)若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。

①求实数a的取值范围；

②证明： .

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已知函数， .

(1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程.

(2)若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。

①求实数a的取值范围；

②证明： .

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