设数列的前项和为，且方程有一个根为，．（1）证明：数列是等差数列；（2）设方程的另一个根为...

设数列的前项和为，且方程有一个根为，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设方程的另一个根为，数列的前项和为，求的值；

（3）是否存在不同的正整数，使得，，成等比数列，若存在，求出满足条件的，若不存在，请说明理由．

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已知函数.

(1)求方程的实数解；

(2)如果数列满足， （），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论．

(3)在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明： ．

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已知数列中， ，且．

（）试求的值，使得数列是一个常数列．

（）试求的取值范围，使得对于任意的都成立．

（）若，设，数列的前项和为，试证明： ．

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若数列满足（； ， ），称数列为数列，记为其前项和.

（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；

（Ⅱ）若， ，证明：若数列是递增数列，则；反之，若，则数列是递增数列；

（Ⅲ）对任意给定的整数（），是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

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已知，其中．

（1）当时，证明；

（2）若在区间，内各有一个根，求的取值范围；

（3）设数列的首项，前项和，，求，并判断是否为等差数列？

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（6分）已知数列满足如图所示的程序框图。

（I）写出数列的一个递推关系式；并求数列的通项公式

（Ⅱ）设数列的前项和，证明不等式≤，对任意皆成立．

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设是数列的前项之积，并满足： .

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明数列等差数列；

（Ⅲ）令,证明前项和.

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（12分）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．

（1）若数列的前项和为，证明：数列是“数列”；

（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

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（本小题满分13分）

已知数列，其前项和为．

（1）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；

（2）如果数列满足，请证明数列是等比数列；

（3）设，数列的前项和为，求使不等式 对一切都成立的最大正整数的值．

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已知数列的前项和为，且.

（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）求数列的前项和为.

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