(本小题满分14分)
已知数列的各项满足:,.
(1) 判断数列是否成等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3) 若数列为递增数列,求的取值范围.
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(本小题满分14分)
已知数列的各项满足:,.
(1) 判断数列是否成等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3) 若数列为递增数列,求的取值范围.
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(本小题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)数列满足:,且,记数列的前n项和为,
且.
(ⅰ)求数列的通项公式;并判断是否仍为数列中的项?若是,请证明;否则,说明理由.
(ⅱ)设为首项是,公差的等差数列,求证:“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数,使”
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(本题满分14分)
已知数列满足(),,记数列的前项和为,
.
(I)令,求证数列为等差数列,并求其通项公式;
(II)证明: (i)对任意正整数, ;
(ii)数列从第2项开始是递增数列.
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已知等比数列的前项和满足:且是的等差中项,
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列为递增数列,,是否存在最小正整数使得成立?若存在,试确定的值,若不存在,请说明理由.
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(本小题满分13分)已知数列的前项和为,数列满足,.
(1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和;
(3)是否存在非零实数,使得数列为等差数列,证明你的结论.
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(本小题满分12分)已知等差数列中,公差,其前项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设(),数列的前项和为,求证:;
(3)是否存在常数(),使得数列为等差数列?若存在,试求出;若不存在,说明理由.
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给定数列,若满足且,对于任意的n,,都有,则称数列为“指数型数列”.
Ⅰ已知数列,的通项公式分别为,,试判断,是不是“指数型数列”;
Ⅱ若数列满足:,,判断数列是否为“指数型数列”,若是给出证明,若不是说明理由;
Ⅲ若数列是“指数型数列”,且,证明:数列中任意三项都不能构成等差数列.
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(本小题满分14分)
若由数列生成的数列满足对任意的其中
,则称数列为“Z数列”。
(I)在数列中,已知,试判断数列是否为“Z数列”;
(II)若数列是“Z数列”,
(III)若数列是“Z数列”,设求证
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(本题满分18分)定义:若各项为正实数的数列满足,则称数列为“算术平方根递推数列”.
已知数列满足且点在二次函数的图像上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列是等比数列,并求出通项公式;
(3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ,把这些项重新组成一个新数列:.若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且数列各项的和为,求正整数的值.
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(本题满分18分)定义:若各项为正实数的数列满足,则称数列为“算术平方根递推数列”.
已知数列满足且点在二次函数的图像上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列是等比数列,并求出通项公式;
(3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ,把这些项重新组成一个新数列:.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列,且数列各项的和为,求正整数的值.
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