已知无穷数列满足：．（1）证明：；（2）证明： ；（3）证明： ．

已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.

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已知,数列、满足:,,记．

（1）若，，求数列、的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）定义，证明：若存在，使得、为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点．

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已知无穷数列满足：．

（1）证明：；

（2）证明： ；

（3）证明： ．

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若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“-数列”.已知数列是“-数列”.

（Ⅰ）若，写出的所有可能值；

（Ⅱ）证明：是等差数列当且仅当单调递减；

（Ⅲ）若存在正整数，对任意正整数，都有，证明：是数列的最大项.

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已知各项都不为零的无穷数列满足: ；

(1)证明为等差数列,并求时数列中的最大项:

(2)若为数列中的最小项,求的取值范围.

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（本小题满分12分）

设同时满足条件：①；②(，是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.

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已知两个无穷数列和的前项和分别为， ， ， ，对任意的，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明： ；

（3）若为等比数列， ， ，求满足的值．

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已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有.证明：；

（3）若为等比数列，，，求满足的值.

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已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存

在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；

（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

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