已知函数,函数().
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时,.
(3)证明:当时,.
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已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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已知函数,.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对于任意的,总存在,使得成立,求正实数的取值范围.
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已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,证明: (其中e为自然对数的底数).
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已知椭圆的离心率,一个长轴顶点在直线上,若直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,直线的斜率为,直线的斜率为.
(1)求该椭圆的方程.
(2)若,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
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已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若,求证:.
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如图,已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;
(2)在线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
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如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BC∥AD,且AP=AB=AD=4,BC=2.
(1)求二面角P-CD-A的余弦值;
(2)已知H为线段PC上异于C的点,且DC=DH,求的值.
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如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.
(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;
(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.
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如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若λ=,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,求实数λ的值.
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