设,,.
(1)求值:
①;
②();
(2)化简:.
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已知函数.
(1)当时,若,求实数的值;
(2)若,求证:.
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已知,.记.
(1)求的值;
(2)化简的表达式,并证明:对任意的,都能被整除.
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数学运算中,常用符号来表示算式,如=,其中,.
(Ⅰ)若,,,…,成等差数列,且,公差,求证:;
(Ⅱ)若,,记,且不等式对于恒成立,求实数的取值范围.
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(1)阅读以下案例,利用此案例的想法化简.
案例:考察恒等式左右两边的系数.
因为右边,
所以,右边的系数为,
而左边的系数为,
所以=.
(2)求证:.
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已知数列,若对任意的,,,存在正数使得,则称数列具有守恒性质,其中最小的称为数列的守恒数,记为.
(1)若数列是等差数列且公差为,前项和记为.
①证明:数列具有守恒性质,并求出其守恒数.
②数列是否具有守恒性质?并说明理由.
(2)若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质,且,求公比值的集合.
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已知函数,,.
(1)若曲线在处的切线与曲线相切,求的值;
(2)当时,函数的图象恒在函数的图象的下方,求的取值范围;
(3)若函数恰有2个不相等的零点,求实数的取值范围.
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如图所示,在平面直角坐标系中,点是抛物线上的点,直线交直线于点.
(1)求长度的最小值;
(2)若点也是抛物线上的点,且,直线交直线于点.求四边形的面积的最小值.
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如图,在棱长为的正方体中,为棱的中点,在棱上.
(1)若为棱的中点,求二面角的正弦值;
(2)若直线与平面所成角为,求
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设函数.
(1)若,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值:若不存在,说明理由:
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围:
(3)若函数存在两个极值点,证明:
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