定义数列：，，.证明：（1）为整数数列；（2）为完全平方数。

定义数列：，，.

证明：（1）为整数数列；

（2）为完全平方数。

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高二数学选择题中等难度题查看答案及解析

删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（　　 ）

A．2058　　　　　　　 B．2059　　　　　　 C．2060　　　　　　　 D．2061

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已知是一个首项为9、公差为7的等差数列.

（1）证明：数列中有无穷多项是完全平方数；

（2）数列中第100个完全平方数是第几项？

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高二数学填空题中等难度题查看答案及解析

对于各项均为整数的数列，如果为完全平方数，则称数列具有“性质”，不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：

(1)是的一个排列；(2)数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。给出下面三个数列：

①数列的前项和；

②数列1，2，3，4，5；

③数列1，2，3，… 11.

其中具有“性质”或具有“变换性质”的为　　　　　　 .（写出所有正确的序号）．

高二数学填空题中等难度题查看答案及解析

（本题满分14分）设,函数．

（Ⅰ）证明:存在唯一实数，使；

（Ⅱ）定义数列:,,．

（i）求证:对任意正整数n都有；

(ii) 当时, 若，

证明:当k时，对任意都有:

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（1）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这四个数是互不相同的完全平方数；（2）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这六个数是互不相同的完全平方数；（3）构造一个元素都是整数的矩阵，使得其每一行的和与每一列的和这八个数是互不相同的完全平方数.

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设数列的通项公式是（表示不超过实数的最大整数）.

（1）证明：、、、、都是数列的项；

（2）是否是数列的项，证明你的结论；

（3）证明：有无穷多个2的正整数幂是数列的项.

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设首项为的正项数列的前项和为，为非零常数．已知对任意正整数、，当时，总成立．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若正整数、、成等差数列，证明：．

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