已知函数.（1）证明：函数在区间上存在唯一的极小值点；（2）证明：函数有且仅有两个零点.

已知函数.

（1）证明：函数在区间上存在唯一的极小值点；

（2）证明：函数有且仅有两个零点.

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已知函数，是的导函数。

（1）证明：在内存在唯一的极小值点；

（2）证明：当时，有且只有两个零点.

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（本小题满分14分）已知函数，，其中且．为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极小值；

（Ⅱ）当时，若函数存在三个零点，且，试证明：

；

（Ⅲ）是否存在负数，对，，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

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已知函数，为的导函数，证明：

（1）在区间上存在唯一极大值点；

（2）在区间上有且仅有一个零点.

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已知函数，.

（1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点；

（2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

注：复合函数的导函数.

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已知函数

（1）求函数 的单调区间；

（2）若在 上只有一个零点，求的取值范围；

（3）设 为函数的极小值点，证明：

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已知

（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；

（2）若函数有两个极值点 ， 且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．

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设函数，（其中为实常数且），曲线在点处的切线方程为.

(Ⅰ) 若函数无极值点且存在零点，求的值；

(Ⅱ) 若函数有两个极值点，证明的极小值小于.

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已知函数，在处取极大值，在处取极小值.

(1)若，求函数的单调区间和零点个数；

(2)在方程的解中，较大的一个记为；在方程的解中，较小的一个记为，证明：为定值；

(3)证明：当时，.

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（本小题满分15分）设函数，（其中为实常数且），曲线在点处的切线方程为.

(Ⅰ) 若函数无极值点且存在零点，求的值；

(Ⅱ) 若函数有两个极值点，证明的极小值小于.

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