(本小题满分12分)若实数列满足,则称数列为凸数列.（Ⅰ）判断数列是否是凸数列?（Ⅱ）若数...

(本小题满分12分)

若实数列满足,则称数列为凸数列.

（Ⅰ）判断数列是否是凸数列?

（Ⅱ）若数列为凸数列,

求证：;

设是数列的前项和,求证：.

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（本小题满分14分）

若由数列生成的数列满足对任意的其中

，则称数列为“Z数列”。

（I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；

（II）若数列是“Z数列”，

（III）若数列是“Z数列”，设求证

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（本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.

已知数列满足且点在二次函数的图像上.

（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．

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（本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.

已知数列满足且点在二次函数的图像上.

（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．

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(本小题满分14分)

已知数列的各项满足：，.

(1) 判断数列是否成等比数列；

（2）求数列的通项公式；

(3)  若数列为递增数列，求的取值范围.

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(本题满分14分) 已知正项数列满足，，

令．

(Ⅰ) 求证：数列为等比数列；

(Ⅱ) 记为数列的前项和，是否存在实数，使得不等式对恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

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（本小题满分12分）已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设（），数列的前项和为，求证：；

（3）是否存在常数(),使得数列为等差数列?若存在,试求出；若不存在,说明理由.

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定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.

已知数列满足且点在二次函数的图象上.

（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．

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给定正整数，若项数为的数列满足：对任意的，均有（其中），则称数列为“Γ数列”．

（1）判断数列和是否是“Γ数列”，并说明理由；

（2）若为“Γ数列”，求证：对恒成立；

（3）设是公差为的无穷项等差数列，若对任意的正整数，

均构成“Γ数列”，求的公差．

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（本小题满分13分）已知数列满足，为其前项和，且.

（1）求的值；

（2）求证：；

（3）判断数列是否为等差数列，并说明理由.

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